`1   
`23-matj`1me1
braille intgral

    baccalaurat gnral

   preuve d'enseignement
        de spcialit

        session `2023

        mathmatiques

    lundi `20 mars `2023

     dure de l'preuve:
          `4 heures

      braille intgral

  l'usage de la calculatrice
avec mode examen actif est au-
toris.
  l'usage de la calculatrice
sans mmoire "type collge"
est autoris.

a`1                         `2
  ds que ce sujet vous est
remis, assurez-vous qu'il est
complet.
  ce sujet comporte `5 pages
numrotes de `1  `5 dans la
version originale et `19 pages
`!2 planches tactiles dans la
version en braille intgral.

  le candidat doit traiter
les quatre exercices proposs.

exercice `1 '''''''''''''' `4
exercice `2 '''''''''''''' `9
exercice `3 ''''''''''''' `12
exercice `4 ''''''''''''' `17

  le candidat est invit 
faire figurer sur la copie
toute trace de recherche, m2me
incomplte ou non fructueuse,
qu'il aura dveloppe.




b`1                         `3
  la qualit de la rdaction,
la clart et la prcision des
raisonnements seront prises en
compte dans l'apprciation de
la copie. les traces de
recherche, m2me incompltes ou
infructueuses, seront valori-
ses.


















`2                          `4
         exercice `1
         (`5 points)


  cet exercice est un
questionnaire  choix
multiple.
  pour chaque question, une
seule des quatre rponses pro-
poses est exacte. le candi-
dat indiquera sur sa copie le
numro de la question et la
rponse choisie. aucune
justification n'est demande.
  aucun point n'est enlev en
l'absence de rponse ou en cas
de rponse inexacte.
  les questions sont ind-
pendantes.

  un technicien contr4le les
machines quipant une grande
entreprise. toutes ces machi-
nes sont identiques.


a`2                         `5
  on sait que:

9o `20 des machines sont
  sous garantie;
9o `0,2 des machines sont 
  la fois dfectueuses et sous
  garantie;
9o `8,2 des machines sont
  dfectueuses.

  le technicien teste une
machine au hasard.

  on considre les vnements
suivants:

9o `g: "la machine est sous
  garantie";
9o `d: "la machine est dfec-
  tueuse";
9o `:g et `:d dsignent
  respectivement les vne-
  ments contraires de `g et
  `d.


b`2                         `6
  pour rpondre aux questions
`1  `3, on pourra s'aider de
l'arbre propos ci-contre.

      `;voir planche tactile
    no `1'

  `1. la probabilit
`p?g(d) de l'vnement `d
sachant que `g est ralis
est gale :

a. `0,002
b. `0,01
c. `0,024
d. `0,2

  `2. la probabilit
`p(:g!d) est gale :

a. `0,01
b. `0,08
c. `0,1
d. `0,21


c`2                         `7
  `3. la machine est dfec-
tueuse. la probabilit
qu'elle soit sous garantie est
environ gale,  `10^-3 prs,
:

a. `0,01
b. `0,024
c. `0,082
d. `0,1
----------------------------`3
  pour les questions `4 et
`5, on choisit au hasard et de
faon indpendante `n machines
de l'entreprise, o `n dsigne
un entier naturel non nul.
on assimile ce choix  un ti-
rage avec remise, et on d-
signe par `x la variable
alatoire qui associe  chaque
lot de `n machines le nombre
de machines dfectueuses dans
ce lot.
  on admet que `x suit la
loi binomiale de paramtres `n
et `p"0,082.
a`3                         `8
  `4. dans cette question, on
prend `n"50.
  la valeur de la probabilit
`p(x@2), arrondie au milli-
me, est de:

a. `0,136
b. `0,789
c. `0,864
d. `0,924

  `5. on considre un entier
`n pour lequel la probabilit
que toutes les machines d'un
lot de taille `n fonctionnent
correctement est suprieure 
`0,4. la plus grande valeur
possible pour `n est gale :

a. `5
b. `6
c. `10
d. `11



b`3                         `9
         exercice `2
         (`5 points)


  on considre la fonction `f
dfinie sur `0;!c par

`f(x)"x^2-8ln(x),

o `ln dsigne la fonction lo-
garithme nprien.

  on admet que `f est dri-
vable sur `0;!c, on note
`f' sa fonction drive.

  `1. dterminer
`'lim??x50;f(x).

  `2. on admet que, pour tout
`x@0,

`'f(x)"x^2(1-8ln(x)/x^2;)

  en dduire la limite:
`'lim??x5!c;f(x).
c`3                        `10
  `3. montrer que, pour tout
rel `x de `0;!c,

`'f'(x)"2(x^2-4);/x.

  `4. tudier les variations
de `f sur `0;!c et dresser
son tableau de variations
complet.
  on prcisera la valeur
exacte du minimum de `f sur
`0;!c.

  `5. dmontrer que, sur
l'intervalle `0;2, l'qua-
tion `f(x)"0 admet une solu-
tion unique a (on ne cherche-
ra pas  dterminer la valeur
de a).







d`3                        `11
  `6. on admet que, sur
l'intervalle `2;!c, l'qua-
tion `f(x)"0 admet une solu-
tion unique b (on ne cherche-
ra pas  dterminer la valeur
de b).
  en dduire le signe de `f
sur l'intervalle `0;!c.

  `7. pour tout nombre rel
`k, on considre la fonction
`g?k dfinie sur `0;!c par:

`g?k(x)"x^2-8ln(x)!k.

  en s'aidant du tableau de
variations de `f, dterminer
la plus petite valeur de `k
pour laquelle la fonction `g?k
est positive sur l'intervalle
`0;!c.





`4                         `12
         exercice `3
         (`5 points)


  une entreprise a cr une
foire aux questions
("faq") sur son site
internet.
  on tudie le nombre de
questions qui y sont poses
chaque mois.

         partie a:
    premire modlisation

  dans cette partie, on admet
que, chaque mois:

9o `90 des questions dj
  poses le mois prcdent
  sont conserves sur la
  faq;
9o `130 nouvelles questions
  sont ajoutes  la faq.


a`4                        `13
  au cours du premier mois,
`300 questions ont t poses.
  pour estimer le nombre de
questions, en centaines, pr-
sentes sur la faq le n-ime
mois, on modlise la situation
ci-dessus  l'aide de la suite
`(u?n) dfinie par:
`u?1"3 et, pour tout entier
naturel `n@1,

`'u?n!1;"0,9u?n!1,3.

  `1. calculer `u?2 et `u?3
et proposer une interprtation
dans le contexte de l'exerci-
ce.

  `2. montrer par rcurrence
que pour tout entier naturel
`n@1:

`'u?n"13-100/9*0,9^n.

  `3. en dduire que la suite
`(u?n) est croissante.
b`4                        `14
  `4. on considre le
programme ci-dessous crit en
langage python.
  dterminer la valeur
renvoye par la saisie de
`seuil(8.5) et l'interprter
dans le contexte de l'exerci-
ce.

def seuil(p):
  n"1
  u"3
  while u2"p:
    n"n!1
    u"0.9*u!1.3
  return n










c`4                        `15
         partie b:
   une autre modlisation

  dans cette partie, on
considre une seconde modli-
sation  l'aide d'une nouvelle
suite `(v?n) dfinie pour tout
entier naturel `n@1 par:

`'v?n"9-6*e^-0,19*(n-1);

  le terme `v?n est une esti-
mation du nombre de questions,
en centaines, prsentes le
`n-ime mois sur la faq.

  `1. prciser les valeurs
arrondies au centime de
`v?1 et `v?2.

  `2. dterminer, en justi-
fiant la rponse, la plus pe-
tite valeur de `n telle que
`v?n@8,5.


`5                         `16
         partie c:
         comparaison
       des deux modles

  `1. l'entreprise considre
qu'elle doit modifier la pr-
sentation de son site lorsque
plus de `850 questions sont
prsentes sur la faq.
parmi ces deux modlisations,
laquelle conduit  procder le
plus t4t  cette modification?
justifier votre rponse.

  `2. en justifiant la r-
ponse, pour quelle modlisa-
tion y a-t-il le plus grand
nombre de questions sur la
faq  long terme?







a`5                        `17
         exercice `4
         (`5 points)


  on considre le cube
abcdefgh d'ar2te `1.
  on appelle i le point
d'intersection du plan
`(gbd) avec la droite
`(ec).
  l'espace est rapport au
repre orthonorm
(a;:ab,:ad,:ae).

      `;voir planche tactile
    no `2'

  `1. donner dans ce repre
les coordonnes des points e,
c, g.

  `2. dterminer une repr-
sentation paramtrique de la
droite `(ec).


b`5                        `18
  `3. dmontrer que la droite
`(ec) est orthogonale au
plan `(gbd).

  `4. a. justifier qu'une
quation cartsienne du plan
`(gbd) est: `x!y-z-1"0.
  b. montrer que le point i
a pour coordonnes
`(2/3;2/3;1/3).
  c. en dduire que la
distance du point e au plan
`(gbd) est gale 
`'2@3;/3.

  `5. a. dmontrer que le
triangle bdg est quilat-
ral.
  b. calculer l'aire du
triangle bdg. on pourra
utiliser le point j, milieu
du segment `bd.




c`5                        `19
  `6. justifier que le volume
du ttradre egbd est gal 
`1/3.
  on rappelle que le volume
d'un ttradre est donn par:
`v"1/3bh o b est l'aire
d'une base du ttradre et `h
est la hauteur relative  cet-
te base.

















